Может ли сам эксперт обжаловать постановление о назначении судебной экспертизы ?

Да, может это закреплено в статье 17 ФЗ "О государственной судебно-экспертной деятельности в РФ"

Статья 17. Права эксперта

Эксперт вправе:

ходатайствовать перед руководителем соответствующего государственного судебно-экспертного учреждения о привлечении к производству судебной экспертизы других экспертов, если это необходимо для проведения исследований и дачи заключения;

делать подлежащие занесению в протокол следственного действия или судебного заседания заявления по поводу неправильного истолкования участниками процесса его заключения или показаний;