Как правило, кто ходатайствует, тот и предварительно оплачивает экспертизу. Также вопрос оплаты до ее проведения обычно рассматривается и определяется в суде. Но бывают случаи ,если никто не оплатил, то сначала бюджет, а в конце рассмотрения дела производится распределение расходов на проведение экспертизы. Их несет проигравшая сторона. 
Следовательно, суд сам отнесет расходы на проигравшую сторону. Если заплатите вы, то расширите свои требования еще и на расходы по экспертизе.